Simpel gezegd geeft een z-score (ook wel een standaardscore genoemd) een idee van hoe ver deze verwijderd is van de gemiddelde waarde van een gegevenspunt. Meer technisch gezien is het een maat voor het aantal standaarddeviaties onder of boven de gegeven populatie die een ruwe score betekenen.
Een z-score kan worden geplaatst op een normale verdelingscurve. De z-scores gaan van -3 standaarddeviaties (die uiterst links van de normale verdelingscurve zouden vallen) tot +3 standaarddeviaties (die uiterst rechts van de normale verdelingscurve zouden vallen). Om een z-score te kunnen gebruiken, moet je het μ-gemiddelde en de standaardafwijking van de populatie σ kennen.
De basis z-scoreformule voor een steekproef is:
z = (x – μ) / σ
Bijvoorbeeld, laten we zeggen dat je een testscore van 190 hebt. De test heeft een gemiddelde (μ) van 150 en een standaardafwijking (σ) van 25. Uitgaande van een normale verdeling zou je z score zijn:
z = (x – μ) / σ
= 190 – 150 / 25 = 1.6.
De z-score vertelt je zoveel mogelijk standaardafwijkingen van het gemiddelde van je score. In dit voorbeeld is uw score 1,6 standaardafwijkingen boven het gemiddelde.
U kunt ook de z-scoreformule aan de linkerkant zien. Dit is precies dezelfde formule als z = x – μ / σ, behalve dat x̄ (het steekproefgemiddelde) wordt gebruikt in plaats van μ (het populatiegemiddelde) en s (de steekproefstandaardafwijking) wordt gebruikt in plaats van σ (de populatiestandaardafwijking). Hoe dan ook, er zijn precies dezelfde stappen voor het oplossen ervan.
Z Scoreformule: Standaardfout van het gemiddelde
Als u meerdere steekproeven heeft en de standaardafwijking van die steekproeven wilt beschrijven (de standaardafwijking), dan zou u deze z-scoreformule gebruiken:
z = (x – μ) / (σ / √n)
Deze z-score vertelt u dat er veel standaardfouten zijn tussen het steekproefgemiddelde en het populatiegemiddelde.
Voorbeeld probleem: In het algemeen is de gemiddelde lengte van vrouwen 65″ met een standaardafwijking van 3.5″. Wat is de kans op het vinden van een willekeurige steekproef van 50 vrouwen met een gemiddelde lengte van 70″, ervan uitgaande dat de hoogtes normaal verdeeld zijn?
z = (x – μ) / (σ / √n)
= (70 – 65) / (3.5/√50) = 5 / 0.495 = 10.1
Als de sleutel hier is dat we te maken hebben met een steekproefverdeling van middelen, dan weten we dat we de standaardfout in de formule moeten opnemen. We weten ook dat 99% van de waarden binnen 3 standaardafwijkingen van het gemiddelde vallen in een normale kansverdeling (zie 68 95 99,7 regel). Er is dus minder dan 1% kans dat welke steekproef van vrouwen dan ook een gemiddelde hoogte van 70″ heeft.
Verward over wanneer σ te gebruiken en wanneer σ √n? Zie: Sigma / sqrt (n) – waarom wordt het gebruikt?
Hoe bereken je een Z-Score
Een z-score kan eenvoudig worden berekend op een TI-83 calculator of in Excel. Als u beide niet heeft, kunt u het echter met de hand berekenen.
Voer uw X-waarde in de z-scorevergelijking in. In deze voorbeeldvraag is de X-waarde uw SAT-score, 1100.
Stap 2: Zet het gemiddelde, μ, in de z-scorevergelijking
schrijf de standaardafwijking, σ in de z-scorevergelijking.
Stap 4: Zoek het antwoord met behulp van een rekenmachine:
(1100 – 1026) / 209 = .354. Dat betekent dat je score .354 devs std boven het gemiddelde lag.
Stap 5: (Optioneel) Zoek uw z-waarde in de z-tabel om te zien welk percentage van de testnemer onder u scoorde. Een z-score van .354 is .1368 + .5000* = .6368 of 63,68%.
*Waarom telt u .500 bij het resultaat op? De getoonde tabel z heeft de scores voor het RECHTS van het gemiddelde. We moeten dus .500 toevoegen voor het hele LINKER-gebied van het gemiddelde. Voor meer voorbeelden van wanneer we .500 moeten optellen (of aftrekken), zie enkele voorbeelden in: Oppervlakte onder een normale verdelingscurve.
4. 4. 4. 4.1. Z-scores en standaardafwijkingen
Technisch gezien staat een z-score voor het aantal standaardafwijkingen van de standaardwaarde van de referentiepopulatie (een populatie waarvan de bekende waarden zijn geregistreerd, zoals in deze grafieken die de CDC samenstelt op basis van de gewichten van de mensen). Bijvoorbeeld:
Een z-score van 1 is 1 boven de gemiddelde standaardafwijking.
Een score van 2 is 2 boven het gemiddelde van de standaardafwijkingen.
Een score van -1,8 is -1,8 standaarddeviaties onder het gemiddelde.
Een z-score geeft aan waar de score op een normale verdeelcurve ligt. Een z-score van nul geeft aan dat de waarde precies het gemiddelde is, terwijl een score van +3 aangeeft dat de waarde veel hoger is dan het gemiddelde.
Terug naar boven
5. 5. Hoe gebruik je het in het echte leven?
U kunt de z-tabel of de normale verdelingsgrafiek gebruiken om te zien hoe een z-score van 2,0 “bovengemiddeld” betekent. Stel dat je het gewicht van een persoon (240 pond) hebt, dan weet je dat hun z-score 2.0 is. Weet u dat 2,0 bovengemiddeld is (vanwege de hoge plaatsing op de normale verdelingscurve), maar wilt u weten hoeveel meer dan gemiddeld dit gewicht is?
De z-score in het midden van de curve is nul. De z-scores rechts van het gemiddelde zijn positief en de z-scores links van het gemiddelde zijn negatief. Als je naar de score in de z-tabel kijkt, kun je zien welk percentage van de bevolking boven of onder je score zit. De volgende tabel toont een z-score van 2,0 gemarkeerd, met .9772 (die omgerekend wordt naar 97,72%). Als u kijkt naar dezelfde score (2,0) als de normale verdelingscurve hierboven, dan ziet u dat deze overeenkomt met 97,72%,
Het vertelt u dat 97,72% van de bevolkingsscores onder die bepaalde score ligt en 100% – 97,72% = 2,28% van de scores ligt boven die score. Een zeer eenvoudige 2,28 van de bevolking ligt boven het gewicht van deze persoon……waarschijnlijk een goede indicatie dat hij of zij moet gaan eten!
Technologie
1. 1. Het vinden van een Z-Score op de TI-89
De Stats/Lijst Editor van TI-89 Titanium bevat een eenvoudig menu waarin u in enkele seconden naar een Z-score kunt zoeken. Dit gedeelte laat zien hoe u de z-score voor een kritische waarde in een linker staart kunt vinden. Uw normale verdelingscurve is symmetrisch, dus dit zal ook het gebied in een rechter staart zijn.
Je weet niet zeker of je test een linker- of een rechterstaart is? Zie “Linkerstaarttest of rechterstaart” om je te helpen beslissen.
Z-Score: Definitie, formule en berekening
Inhoud (Algemeen):
Wat is een Z-Score?
Z-Score Formules.
Hoe bereken je een Z-Score.
Meer over Z-scores en Standaardafwijkingen.
Hoe wordt het gebruikt in het echte leven?
Inhoud (Technologie):
Hoe vind je een Z-Score op de TI-89.
Hoe vind je een Z-Score in Excel.
Hoe vind je een kritische z-waarde op de TI-83.
1. 1. Wat is een Z-Score?
Simpel gezegd, een z-score (ook wel een standaardscore genoemd) geeft u een idee van hoe ver een gegevenspunt van het gemiddelde verwijderd is. Maar meer technisch gezien is het een maat voor hoeveel standaardafwijkingen onder of boven de populatie een ruwe score betekent.
Een z-score kan worden geplaatst op een normale verdelingscurve. Z-scores variëren van -3 standaarddeviaties (die uiterst links van de normale verdelingskromme zouden vallen) tot +3 standaarddeviaties (die uiterst rechts van de normale verdelingskromme zouden vallen). Om een z-score te kunnen gebruiken, moet je de gemiddelde μ kennen en ook de standaardafwijking van de populatie σ.
Z-scores zijn een manier om de resultaten te vergelijken met een “normale” populatie. Resultaten van tests of enquêtes hebben duizenden mogelijke resultaten en eenheden; die resultaten kunnen vaak betekenisloos lijken. Bijvoorbeeld, wetende dat iemands gewicht 150 pond is, kan goede informatie zijn, maar als je het wilt vergelijken met het gewicht van de “gemiddelde” persoon, kan het kijken naar een enorme tabel met gegevens overweldigend zijn (vooral als sommige gewichten worden geregistreerd in kilogram). Een z-score kan u vertellen waar het gewicht van die persoon is vergeleken met het gemiddelde gewicht van de gemiddelde bevolking.
Terug naar boven
2. 2. Z-scoreformules
De Z-scoreformule: Een monster
De basis z-scoreformule voor een steekproef is:
z = (x – μ) / σ
Bijvoorbeeld, laten we zeggen dat je een testscore van 190 hebt. De test heeft een gemiddelde (μ) van 150 en een standaardafwijking (σ) van 25. Uitgaande van een normale verdeling zou je z score zijn:
z = (x – μ) / σ
= 190 – 150 / 25 = 1.6.
De z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen er zijn van het gemiddelde van uw score. In dit voorbeeld is uw score 1,6 standaardafwijkingen boven het gemiddelde.
afwisselend z-scoreU kunt ook de z-scoreformule zien die links wordt weergegeven. Dit is precies dezelfde formule als z = x – μ / σ, behalve dat x̄ (het steekproefgemiddelde) wordt gebruikt in plaats van μ (het populatiegemiddelde) en s (de steekproefstandaardafwijking) wordt gebruikt in plaats van σ (de populatiestandaardafwijking). De stappen voor het oplossen ervan zijn echter precies hetzelfde.
Z Scoreformule: Standaardfout van het gemiddelde
Wanneer u meerdere steekproeven heeft en de standaardafwijking van die steekproeven wilt beschrijven (de standaardafwijking), zou u deze z-scoreformule gebruiken:
z = (x – μ) / (σ / √n)
Deze z-score vertelt u hoeveel standaardfouten er zijn tussen het steekproefgemiddelde en het populatiegemiddelde.
Voorbeeld probleem: In het algemeen is de gemiddelde lengte van vrouwen 65″ met een standaardafwijking van 3.5″. Wat is de kans op het vinden van een willekeurige steekproef van 50 vrouwen met een gemiddelde lengte van 70″, ervan uitgaande dat de hoogtes normaal verdeeld zijn?
z = (x – μ) / (σ / √n)
= (70 – 65) / (3.5/√50) = 5 / 0.495 = 10.1
De sleutel hier is dat we te maken hebben met een steekproefverdeling van middelen, dus we weten dat we de standaardfout in de formule moeten opnemen. We weten ook dat 99% van de waarden binnen 3 standaardafwijkingen van het gemiddelde vallen in een normale kansverdeling (zie 68 95 99,7 regel). Er is dus minder dan 1% kans dat een steekproef van vrouwen een gemiddelde hoogte van 70″ heeft.
Verward over wanneer σ te gebruiken en wanneer σ √n? Zie: Sigma / sqrt (n) – waarom wordt het gebruikt?
Terug naar boven
3. 3. Hoe berekent u een Z-Score?
U kunt eenvoudig een z-score berekenen op een TI-83 calculator of in Excel. Als u echter geen van beide heeft, kunt u het met de hand berekenen.
Voorbeeld vraag: U neemt de SAT en scoort 1100. De gemiddelde score voor de SAT is 1026 en de standaardafwijking is 209. Hoe goed heeft u op de test gescoord ten opzichte van de gemiddelde testnemer?
Stap 1: Schrijf uw X-waarde in de z-scorevergelijking. Voor deze voorbeeldvraag is de X-waarde uw SAT-score, 1100.
BEREKEN EEN Z-SCORE 1
Stap 2: Zet het gemiddelde, μ, in de z-scorevergelijking.
BEREKEN EEN Z-SCORE 2
Stap 3: Schrijf de standaardafwijking, σ in de z-scorevergelijking.
BEREKEN EEN Z-SCORE 3
Stap 4: Zoek het antwoord met behulp van een rekenmachine:
(1100 – 1026) / 209 = .354. Dit betekent dat je score .354 std devs boven het gemiddelde lag.
Stap 5: (Optioneel) Zoek uw z-waarde op in de z-tabel om te zien welk percentage van de testpersonen onder u scoorde. Een z-score van .354 is .1368 + .5000* = .6368 of 63,68%.
*Waarom telt u .500 bij het resultaat op? De getoonde z-tabel heeft scores voor het RECHTS van het gemiddelde. Daarom moeten we .500 toevoegen voor het gehele gebied LINKS van het gemiddelde. Voor meer voorbeelden van het optellen (of aftrekken) van .500, zie enkele voorbeelden in: Oppervlakte onder een normale verdelingscurve.
Vind je de uitleg leuk? Bekijk het Practically Cheating Statistics Handbook, dat nog honderden andere stapsgewijze verklaringen bevat, net als deze!
Terug naar boven
4. 4. Z-scores en standaardafwijkingen
Technisch gezien is een z-score het aantal standaardafwijkingen van de gemiddelde waarde van de referentiepopulatie (een populatie waarvan de bekende waarden zijn vastgelegd, zoals in deze grafieken de CDC verzamelt over de gewichten van mensen). Bijvoorbeeld:
Een z-score van 1 is 1 standaarddeviatie boven het gemiddelde.
Een score van 2 is 2 standaarddeviaties boven het gemiddelde.
Een score van -1,8 is -1,8 standaarddeviaties onder het gemiddelde.
Een z-score geeft aan waar de score ligt op een normale verdeelcurve. Een z-score van nul vertelt u dat de waarden precies gemiddeld zijn, terwijl een score van +3 aangeeft dat de waarde veel hoger is dan het gemiddelde.
Terug naar boven
5. 5. Hoe wordt het gebruikt in het echte leven?
U kunt de z-tabel en de normale distributiegrafiek gebruiken om u een beeld te geven van hoe een z-score van 2.0 “hoger dan gemiddeld” betekent. Laten we zeggen dat je het gewicht van een persoon (240 pond) hebt, en je weet dat hun z-score 2.0 is. U weet dat 2.0 boven het gemiddelde ligt (vanwege de hoge plaatsing op de normale verdelingscurve), maar u wilt weten hoeveel boven het gemiddelde is dit gewicht?
De z-score in het midden van de curve is nul. De z-scores rechts van het gemiddelde zijn positief en de z-scores links van het gemiddelde zijn negatief. Als u de score in de z-tabel opzoekt, kunt u zien welk percentage van de bevolking boven of onder uw score zit. De tabel hieronder toont een z-score van 2,0 gemarkeerd, met .9772 (die omgerekend wordt naar 97,72%). Als u kijkt naar dezelfde score (2.0) van de normale verdelingscurve hierboven, ziet u dat deze overeenkomt met 97.72%.
z score definitie
Dat betekent dat 97,72% van de scores van de bevolking onder die bepaalde score ligt en 100% – 97,72% = 2,28% van de scores ligt boven die score. Slechts 2,28 van de bevolking ligt boven het gewicht van deze persoon….waarschijnlijk een goede indicatie dat ze op dieet moeten gaan!
Technologie
1. 2. Hoe vind je een Z-Score op de TI-89?
De Stats/Lijst Editor van TI-89 Titanium bevat een eenvoudig menu waarin u in enkele seconden een Z-score kunt opzoeken. Dit gedeelte laat zien hoe u de z-score voor een kritische waarde in een linkerstaart kunt vinden. De normale verdelingscurve is symmetrisch, dus dit zal ook het gebied in een rechter staart zijn.
Weet u niet zeker of uw test een linker- of een rechterstaart is? Zie “Left Tailed Test of Right Tailed” om u te helpen beslissen.
Merk op dat je de Stats/List Editor geïnstalleerd moet hebben om een TI-89 frequentieverdeling te kunnen maken met behulp van deze instructies.
Z Score TI 89: Stappen
Bekijk de video of lees de onderstaande stappen:
Voorbeeld probleem: Zoek de z-score voor α = .012 voor een linksdraaiende test op een standaard normale verdelingscurve.
Stap 1: Druk op Apps, ga naar de Stats/List Editor en druk op ENTER.
Als u de Stats/Lijst Editor niet ziet, kunt u deze hier downloaden. Het is een officiële TI-app en je moet deze overbrengen naar je rekenmachine met behulp van de kabel die oorspronkelijk bij je TI-89 werd geleverd.
Stap 2: Druk op F5 2 1, om naar het scherm Inverse Normal te gaan.
Stap 3: Voer .012 in het veld Gebied in.
Stap 4: Voer 0 in voor het gemiddelde, μ en 1 voor de standaardafwijking, σ.
Stap 5: Druk op ENTER.
Stap 6: Lees het resultaat af: de rekenmachine moet “Inverse = -2.25713” aangeven. Dit is uw z score.
Tip: Als u een gemiddelde en standaardafwijking krijgt, voer dan in plaats van 0 en 1 in stap 4.
Zo vind je een z score op de TI 89!
Hoe vind je een Z-Score in Excel?
Z-Score in Excel: Overzicht
Een z-score in Excel kan snel worden berekend met een basisformule. De formule voor het berekenen van een z-score is
z=(x-μ)/σ,
waarbij μ het bevolkingsgemiddelde is en σ de standaardafwijking van de populatie.
Opmerking: Als de standaardafwijking van de populatie onbekend is of de steekproefgrootte minder dan 6 is, moet je een t-score gebruiken in plaats van een z-score.
Z-score in Excel: Stappen
stap 1: Voer de gemiddelde populatie in een lege cel in. Typ in dit voorbeeld “469” in cel A2. Optioneel: Typ het woord “gemiddelde” als een kolomkop in cel A1 zodat u de waarde in cel A2 onthoudt.
Stap 2: Typ de standaardafwijking van de populatie in een lege cel. Typ voor dit voorbeeld “119” in cel B2. Optioneel: Voer in cel B1 het woord “standaardafwijking” in als kolomkop, zodat u weet wat de waarde in cel B2 betekent.
Stap 3: Typ de waarde X (in dit voorbeeld is X uw GRE-score) in een lege cel. Typ in dit voorbeeld “650” in cel C2. Optioneel: Typ de woorden “X” als een kolomkop in cel B1 zodat u weet wat de waarde in cel B2 betekent.
Stap 4: Voer de volgende formule in een lege cel in:
=(C2-A2)/B2
Stap 5: Druk op “Enter”. De z-score verschijnt in cel D2: De z-score van 1.521008 in dit voorbeeldprobleem geeft aan dat uw GRE-score 1.521008 was.
Dat is het! U heeft een z-score gevonden in Excel.
Tip: U kunt het steeds opnieuw gebruiken als u de formule eenmaal hebt ingevoerd. Typ gewoon een nieuw gemiddelde, een standaardafwijking en een X-waarde in de bijbehorende vakjes.
